每日一题[1279]正弦函数

已知 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$）的图象与直线 $y=m$（$m>0$）的三个相邻交点的横坐标分别为 $\dfrac 23,\dfrac {10}3,\dfrac{14}3$．当 $x\in[m,A]$ 时，$f(x)$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$，则 $A$ 的值是（       ）

A．$\dfrac 23$

B．$\dfrac 43$

C．$2$

D．$4$

答案     B．

解析    根据题意，函数 $f(x)$ 的周期 $$T=\dfrac{14}3-\dfrac 23=4,$$ 且 $x=4$ 是函数 $f(x)$ 的一个最大值点，于是 $$f(x)=A\sin\left(\dfrac{\pi}2x+\dfrac{\pi}2\right).$$ 由相邻交点较近的一组横坐标之差占周期的 $\dfrac 13$ 可得（类比函数 $y=\sin x$ 的图象） $$m=\dfrac 12A.$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 上的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$． [[case]]情形一[[/case]]区间 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 包含最值点，则 $A=\dfrac 23$，经验证不符合题意． [[case]]情形二[[/case]]区间 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 不包含最值点，则函数 $f(x)$ 在区间单调，因此 $x=\dfrac 34A$ 是函数 $f(x)$ 的零点，有 $$\dfrac {\pi}2\cdot \dfrac 34A+\dfrac{\pi}2=k\pi,k\in\mathbb Z,$$ 即 $$A=\dfrac{8k-4}3,k\in\mathbb Z.$$ 注意到区间 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 的长度不超过半周期，于是 $A<2$，从而唯一可能的解为 $A=\dfrac 43$． 综上所述，实数 $A$ 的值为 $\dfrac 43$．