设 z,w∈C,关于 w 的方程 w2+zw+zi=0 恒有实根,z 在复平面 xOy 上对应点 Z 的轨迹为曲线 Γ,则曲线 Γ ( )
A.关于原点对称
B.在直线 y=1 下方
C.关于 y 轴对称
D.是封闭图形
答案 BC.
解析 设关于 w 的方程的实根为 t,z=a+bi,则t2+t(a+bi)+(a+bi)⋅i=0,也即{t2+ta−b=0,tb+a=0,解得{a=−t31+t2,b=t21+t2.记 a=φ(t),b=μ(t),注意到 φ(t) 为奇函数,μ(t) 为偶函数,于是曲线 Γ 关于 y 轴对称.又μ(t)=1−11+t2<1,于是曲线 Γ 在直线 y=1 下方.又当 t→∞ 时,φ(t)→∞,于是曲线 Γ 在 x 轴上的投影不封闭,因此不可能是封闭图形.