每日一题[1276]参数方程

设 $z,w\in\mathbb C$，关于 $w$ 的方程 $w^2+zw+z{\rm i}=0$ 恒有实根，$z$ 在复平面 $xOy$ 上对应点 $Z$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$，则曲线 $\Gamma$ （       ）

A．关于原点对称

B．在直线 $y=1$ 下方

C．关于 $y$ 轴对称

D．是封闭图形

答案     BC．

解析    设关于 $w$ 的方程的实根为 $t$，$z=a+b{\rm i}$，则

$$t^2+t(a+b{\rm i})+(a+b{\rm i})\cdot {\rm i}=0,$$ 也即 $$\begin{cases} t^2+ta-b=0,\\ tb+a=0,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} a=-\dfrac{t^3}{1+t^2},\\ b=\dfrac{t^2}{1+t^2}.\end{cases}$$ 记 $a=\varphi(t)$，$b=\mu(t)$，注意到 $\varphi(t)$ 为奇函数，$\mu(t)$ 为偶函数，于是曲线 $\Gamma$ 关于 $y$ 轴对称．又 $$\mu(t)=1-\dfrac{1}{1+t^2}<1,$$ 于是曲线 $\Gamma$ 在直线 $y=1$ 下方．又当 $t\to\infty$ 时，$\varphi(t)\to \infty$，于是曲线 $\Gamma$ 在 $x$ 轴上的投影不封闭，因此不可能是封闭图形．