每日一题[1270]围魏救赵

已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2=8$ 且 $bc-c^2-4\ne 0$，则代数式 $m=\dfrac{ac-c^2-4}{bc-c^2-4}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(-\infty,2-\sqrt 3\right)$

B．$\left[2+\sqrt 3,+\infty\right)$

C．$\left(2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right)$

D．$\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$a-bm=(1-m)\left(c+\dfrac 4c\right),$$ 又 $$(a-bm)^2\leqslant (a^2+b^2)(1+m^2),$$ 因此 $$(1-m)^2\left(c+\dfrac 4c\right)^2\leqslant 8(1+m^2),$$ 进而 $$16(1-m)^2\leqslant 8(1+m^2),$$ 解得 $$2-\sqrt 3\leqslant m\leqslant 2+\sqrt 3,$$ 等号当 $c=\pm 2$ 且 $$\dfrac{a}{-b}=\dfrac{1}{m}$$ 时可以取得，因此所求的取值范围是 $\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$．