每日一题[1264]联合数列

已知 $a_1>0$，$b_1>0$，且对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，$b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：$a_{50}+b_{50}>20$．

解析    根据题意，有 $$(a_{n+1}+b_{n+1})^2=(a_n+b_n)^2+2(a_n+b_n)\left(\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{b_n}\right)+\left(\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{b_n}\right)^2,$$ 于是 $$(a_{n+1}+b_{n+1})^2>(a_n+b_n)^2+8,$$ 从而 $$(a_{50}+b_{50})^2>(a_2+b_2)^2+384,$$ 又 $$a_2+b_2=a_1+\dfrac{1}{b_1}+b_1+\dfrac{1}{a_1}\geqslant 4,$$ 于是 $$(a_{50}+b_{50})^2>400,$$ 原命题得证．