在三棱锥 S−ABC 中,△ABC 是边长为 3 的等边三角形,SA=√3,SB=2√3,二面角 S−AB−C 的大小为 120∘,则此三棱锥的外接球的表面积为_______.
答案 $21\pi$
解析 注意到SA2+AB2=SB2,
于是 △SAB 是以 A 为直角的直角三角形,于是三棱锥 S−ABC 的外接球球心 O 在面 ABC 上的投影为正 △ABC 的中心 P,在面 SAB 上的投影为直角 △SAB 斜边 SB 的中点 Q.考虑平面 OPQ 截三棱锥 S−ABC 所得的截面为 CMQ,其中 M 为 AB 的中点,如图.
连接 OM,由于QM=12⋅SA=√32,MP=13⋅CM=√32,
于是 △OQM 与 △OPM 全等,进而OM=2MP=√3,
根据余弦定理,可得OC=√OM2+CM2−2⋅OM⋅CM⋅cos60∘=√212,
于是所求外接球的表面积为4π⋅OC2=27π.