每日一题[1262]暗藏勾股

在三棱锥 SABC 中,ABC 是边长为 3 的等边三角形,SA=3SB=23,二面角 SABC 的大小为 120,则此三棱锥的外接球的表面积为_______.

答案    $21\pi$

解析    注意到SA2+AB2=SB2,

于是 SAB 是以 A 为直角的直角三角形,于是三棱锥 SABC 的外接球球心 O 在面 ABC 上的投影为正 ABC 的中心 P,在面 SAB 上的投影为直角 SAB 斜边 SB 的中点 Q.考虑平面 OPQ 截三棱锥 SABC 所得的截面为 CMQ,其中 MAB 的中点,如图.

连接 OM,由于QM=12SA=32,MP=13CM=32,

于是 OQMOPM 全等,进而OM=2MP=3,
根据余弦定理,可得OC=OM2+CM22OMCMcos60=212,
于是所求外接球的表面积为4πOC2=27π.

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