每日一题[1252]阿波罗尼斯圆

如图，在平面四边形 $ABCD$ 中， $AB=4$ ， $AD=2$ ， $\angle DAB=60^\circ$ ， $AC=3BC$ ，则边 $CD$ 长的最小值为_______．

答案 $\dfrac{\sqrt{73}-3}2$ ．

解析根据阿波罗尼斯圆的定义，点 $C$ 的轨迹是以 $O$ （ $O$ 为在直线 $AB$ 的延长线上）为圆心的圆，如图．

由

$\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{AC}{BC}=3,$ 解得

$OA=\dfrac 92,OB=\dfrac 12,OC=\dfrac 32.$ 在

$\triangle DAO$ 中应用余弦定理可得

$OD=\sqrt{AD^2+AO^2-2\cdot AD\cdot AO\cdot \cos\angle DAB}=\dfrac{\sqrt{73}}2,$ 于是所求

$CD$ 的最小值为

$\dfrac{\sqrt{73}-3}2$ ．

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