每日一题[1252]阿波罗尼斯圆

如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$AD=2$，$\angle DAB=60^\circ$，$AC=3BC$，则边 $CD$ 长的最小值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt{73}-3}2$．

解析    根据阿波罗尼斯圆的定义，点 $C$ 的轨迹是以 $O$（$O$ 为在直线 $AB$ 的延长线上）为圆心的圆，如图．

由\[\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OC}{OB}=\dfrac{AC}{BC}=3,\]解得\[OA=\dfrac 92,OB=\dfrac 12,OC=\dfrac 32.\]在 $\triangle DAO$ 中应用余弦定理可得\[OD=\sqrt{AD^2+AO^2-2\cdot AD\cdot AO\cdot \cos\angle DAB}=\dfrac{\sqrt{73}}2,\]于是所求 $CD$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{73}-3}2$．