求证：$2{\rm e}^x>x^3+3x$．
解析 设函数\[f(x)=\left(x^3+3x\right){\rm e}^{-x},\]则其导函数\[f'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3-3x^2+3x-3\right),\]可以估计出极大值点在 $x=\dfrac 94$ 附近，因此令\[g(x)=\left(x^3+mx\right){\rm e}^{-x},\]则\[g'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3-3x^2+mx-m\right),\]令 $m=\dfrac{243}{80}$，则有\[g'\left(\dfrac 94\right)=0,\]于是\[f(x)<g(x)\leqslant g\left(\dfrac 94\right)=\dfrac{729}{40}\cdot {\rm e}^{-\frac 94}<2.\]