每日一题[1246]微创手术

求证：$2{\rm e}^x>x^3+3x$．

解析    设函数

$$f(x)=\left(x^3+3x\right){\rm e}^{-x},$$ 则其导函数 $$f'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3-3x^2+3x-3\right),$$ 可以估计出极大值点在 $x=\dfrac 94$ 附近，因此令 $$g(x)=\left(x^3+mx\right){\rm e}^{-x},$$ 则 $$g'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot \left(x^3-3x^2+mx-m\right),$$ 令 $m=\dfrac{243}{80}$，则有 $$g'\left(\dfrac 94\right)=0,$$ 于是 $$f(x)<g(x)\leqslant g\left(\dfrac 94\right)=\dfrac{729}{40}\cdot {\rm e}^{-\frac 94}<2.$$