每日一题[1237]错位裂项

已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+a$（$a>0$）．

1、当 $x>1$ 时，$f(x)<0$，求实数 $a$ 的取值范围；

2、已知 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$，证明：$\dfrac{\ln 2}{3\cdot 5}+\dfrac{\ln3}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{\ln n}{(2n-1)\cdot (2n+1)}<\dfrac 14$．

解析

1、根据题意，有 $$\forall x>1,\ln x-a\left(x-\dfrac 1x\right)<0,$$ 设不等式左侧函数为 $g(x)$，则 $$g'(x)=\dfrac{-ax^2+x-a}{x^2},$$ 端点分析可得讨论的分界点为 $a=\dfrac 12$．

情形一     $a\geqslant \dfrac 12$．此时 $$g(x)\leqslant \ln x-\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right)<0,$$ 符合题意．

情形二     $a<\dfrac 12$．此时在区间 $\left(1,\dfrac{1+\sqrt{1-4a^2}}{2a}\right)$ 上，有 $$g'(x)>0,$$ 于是 $g(x)$ 单调递增，因此 $$g(x)>g(1)=0,$$ 不符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．

2、根据题意，有 $$\begin{split} LHS&=\sum_{k=2}^n\dfrac{\ln k}{(2k-1)(2k+1)}\\ &=\dfrac 12\sum_{k=2}^n\left(\dfrac{\ln k}{2k-1}-\dfrac{\ln k}{2k+1}\right)\\ &=\dfrac{\ln2}{6}+\dfrac 12\sum_{k=2}^{n-1}\left(\dfrac{\ln(k+1)}{2k+1}-\dfrac{\ln k}{2k+1}\right)-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &=\dfrac {\ln 2}{6}+\dfrac 12\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{\ln \dfrac{k+1}{k}}{2k+1}-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &<\dfrac{\ln 2}6+\dfrac 12\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{\dfrac 12\left(\dfrac{k+1}{k}-\dfrac{k}{k+1}\right)}{2k+1}-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &=\dfrac{\ln 2}6+\dfrac 14\sum_{k=2}^{n-1}\left(\dfrac 1k-\dfrac 1{k+1}\right)-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &=\dfrac{\ln 2}6+\dfrac 18-\dfrac 1{4n}-\dfrac{\ln n}{4n+2}\\ &<\dfrac 14,\end{split}$$ 其中用到了 $$\ln 2<\dfrac 12\left(2-\dfrac 12\right)=\dfrac 34.$$ 因此原不等式得证．