每日一题[1235]分析端点

已知对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$，求实数 $k$ 的取值范围．

答案    $(-\infty,1]$．

解析    设不等式左侧函数为 $f(x)$，则其为偶函数，只需要考虑 $x\in[0,1]$ 的情形，$f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{kx-(x^2+1)\sin x}{x^2+1},$$ 令 $$g(x)=kx-(x^2+1)\sin x,$$ 则其导函数 $$g'(x)=k-(x^2+1)\cos x-2x\sin x,$$ 注意到 $$g'(0)=k-1,$$ 因此 $k=1$ 为讨论的分界点． [[case]]情形一[[/case]] $k\leqslant 1$．此时 $$f(x)\leqslant \ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1,$$ 记右侧函数为 $f_0(x)$，则其导函数 $$f_0'(x)=\dfrac{x-(x^2+1)\sin x}{x^2+1},$$ 而 $$x-(x^2+1)\sin x<x-(x^2+1)\left(x-\dfrac{x^3}6\right)=\dfrac 16x^3(x^2-5)<0,$$ 于是函数 $f_0(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，从而 $$f(x)\leqslant f_0(x)\leqslant f_0(0)=0,$$ 符合题意． [[case]]情形二[[/case]] $k>1$．此时 $$g'(x)>k-(x^2+1)\cdot 1-2x\cdot x=k-3x^2-1,$$ 因此当 $x\in \left[0,\sqrt{\dfrac{k-1}3}\right]$ 时，有 $$g'(x)>0,$$ 此时 $f(x)$ 单调递增，有 $$f(x)>f(0)=0,$$ 不符合题意． 综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,1]$．