每日一题[1218]复数与数列

设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$，$b_1=1$，$b_2=3$，$a_{n+2}=4a_{n+1}-5a_n$，$b_{n+2}=4b_{n+1}-5b_n$，其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$|a_1b_1|+|a_2b_2|+\cdots+|a_nb_n|<5^n$．

解    题中两个递推数列的特征根均为 $2\pm {\rm i}$，于是

$$a_n=\dfrac{1+{\rm i}}2\cdot (2+{\rm i})^{n-1}+\dfrac{1-{\rm i}}{2}\cdot (2-{\rm i})^{n-1},$$ 且 $$b_n=\dfrac{1-{\rm i}}2\cdot (2+{\rm i})^{n-1}+\dfrac{1+{\rm i}}{2}\cdot (2-{\rm i})^{n-1},$$ 因此 $$\begin{split} a_nb_n&=\left|\dfrac{(3-4{\rm i})^{n-1}+(3+4{\rm i})^{n-1}}{2}\right|\\ &={\rm Re}(3+4{\rm i})^{n-1}\\ &<5^{n-1},\end{split}$$ 于是 $$|a_1b_1|+|a_2b_2|+\cdots+|a_nb_n|<\dfrac{5^n-1}{4}<5^n,$$ 因此原不等式得证．

注    事实上，设

$$(3+4{\rm i})^{n-1}=p_n+q_n\cdot{\rm i},$$ 则 $$p_{n+1}+q_{n+1}\cdot {\rm i}=(p_n+q_n\cdot{\rm i})\cdot (3+4{\rm i}),$$ 于是 $$\begin{cases} p_{n+1}=3p_n-4q_n,\\ q_{n+1}=4p_n+3q_n,\end{cases}$$ 进而 $$p_{n+2}=6p_{n+1}-25p_n,$$ 其中 $p_1=1$，$p_2=3$．