每日一题[1218]复数与数列

设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$,$b_1=1$,$b_2=3$,$a_{n+2}=4a_{n+1}-5a_n$,$b_{n+2}=4b_{n+1}-5b_n$,其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$,求证:$|a_1b_1|+|a_2b_2|+\cdots+|a_nb_n|<5^n$.

    题中两个递推数列的特征根均为 $2\pm {\rm i}$,于是\[a_n=\dfrac{1+{\rm i}}2\cdot (2+{\rm i})^{n-1}+\dfrac{1-{\rm i}}{2}\cdot (2-{\rm i})^{n-1},\]且\[b_n=\dfrac{1-{\rm i}}2\cdot (2+{\rm i})^{n-1}+\dfrac{1+{\rm i}}{2}\cdot (2-{\rm i})^{n-1},\]因此\[\begin{split} a_nb_n&=\left|\dfrac{(3-4{\rm i})^{n-1}+(3+4{\rm i})^{n-1}}{2}\right|\\ &={\rm Re}(3+4{\rm i})^{n-1}\\ &<5^{n-1},\end{split}\]于是\[|a_1b_1|+|a_2b_2|+\cdots+|a_nb_n|<\dfrac{5^n-1}{4}<5^n,\]因此原不等式得证.

    事实上,设\[(3+4{\rm i})^{n-1}=p_n+q_n\cdot{\rm i},\]则\[p_{n+1}+q_{n+1}\cdot {\rm i}=(p_n+q_n\cdot{\rm i})\cdot (3+4{\rm i}),\]于是\[\begin{cases} p_{n+1}=3p_n-4q_n,\\ q_{n+1}=4p_n+3q_n,\end{cases}\]进而\[p_{n+2}=6p_{n+1}-25p_n,\]其中 $p_1=1$,$p_2=3$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, , 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论