每日一题[1214]无巧不成书

已知函数 $f(x)=x-\ln(x+2)+{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}$，若存在实数 $x_0$，使 $f(x_0)=3$ 成立，则实数 $a$ 的值为（       ）

A．$\ln 2$

B．$\ln 2-1$

C．$-\ln 2$

D．$-\ln 2-1$

解    D．

设

$$\begin{split} g(x)&=x-\ln(x+2),\\ h(x)&={\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x},\end{split}$$ 则 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=1-\dfrac{1}{x+2},$$ 于是当 $x=-1$ 时，函数 $g(x)$ 取得极小值，亦为最小值为 $$g(-1)=-1.$$ 又根据均值不等式，有 $${\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}\geqslant 4,$$ 等号当且仅当 ${\rm e}^{x-a}=2$ 也即 $x=\ln 2+a$ 时取得．因此 $$f(x)=g(x)+h(x)\geqslant 3,$$ 等号当且仅当 $$x=-1=\ln 2+a$$ 时取得．从而根据题意，有 $$a=-\ln 2-1.$$