每日一题[1213]三角与几何

如图,点 $P$ 为矩形 $ABCD$ 内一点,$\angle PAB=20^\circ$,$\angle PBA=10^\circ$,$\angle APD=70^\circ$,则 $\angle BPC=$ _______.

    $40^\circ$.

方法一    如图,过 $P$ 作 $AB$ 的平行线,分别交 $AD,BC$ 于 $M,N$.

设 $AM=BN=1$,$\angle CPN=\theta$,则\[PM=\dfrac{1}{\tan 20^\circ},PN=\dfrac{1}{\tan 10^\circ},\]于是由 $DM=CN$ 可得\[\dfrac{\tan 50^\circ}{\tan 20^\circ}=\dfrac{\tan \theta}{\tan 10^\circ},\]于是\[\tan\theta=\dfrac{\tan 10^\circ\cdot \tan 50^\circ}{\tan 20^\circ}=\tan 10^\circ\cdot \tan 50^\circ\cdot \tan 70^\circ=\tan 30^\circ,\]因此\[\angle BPC=\angle BPN+\angle CPN=40^\circ.\]

方法二    如图,将 $P$ 平移到 $Q$,使得 $PQ$ 与 $AB$ 平行且相等,连接 $QP,QC,QB$.

设 $\angle CPQ=x$,则根据角元塞瓦定理,有\[\dfrac{\sin\angle BPQ}{\sin\angle QPC}\cdot \dfrac{\sin\angle PCQ}{\sin\angle QCB}\cdot \dfrac{\sin \angle CBQ}{\sin\angle QBP}=1,\]即\[\dfrac{\sin 10^\circ}{\sin x}\cdot \dfrac{\sin (130^\circ-x)}{\sin 40^\circ}\cdot \dfrac{\sin 70^\circ}{\sin 150^\circ}=1,\]也即\[\dfrac{\sin(x+50^\circ)}{\sin x}=\dfrac{\sin 40^\circ\cdot \sin 30^\circ}{\sin 10^\circ\cdot \sin 70^\circ},\]也即\[\dfrac{\sin (x+50^\circ)}{\sin x}=\dfrac{\sin 80^\circ}{\sin 30^\circ},\]也即\[\cos(80^\circ-x)=\cos(x+20^\circ),\]解得 $x=30^\circ$,于是 $\angle BPC=40^\circ$.

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