每日一题[1212]导数原型

设 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导的奇函数，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．已知 $x>0$ 时 $f(x)<f'(x)$，$f(1)={\rm e}$，不等式

$$0<f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}$$ 的解集为 $M$，则在 $M$ 上，$g(x)=\sin 6x$ 的零点个数为_______．

解     $2$．

根据题意，有

$$\left({\rm e}^{-x}\cdot f(x)\right)'={\rm e}^{-x}\cdot \left(f'(x)-f(x)\right)>0,$$ 令 $$g(x)={\rm e}^{-x}\cdot f(x),$$ 则 $$g(1)=1,$$ 于是 $$\begin{array} {c|cccc}\hline x&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline g(x)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline\end{array}$$ 于是 $$f(x)\begin{cases} >0,&x>0,\\ =0,&x=0,\\ <0,&x<0,\end{cases}$$ 从而 $$f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)>0$$ 即 $$\ln (x+\sqrt{1+x^2})>0,$$ 解得 $$x>0.$$ 又 $$f\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}$$ 即 $${\rm e}^{-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}f\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant 1,$$ 因此 $$0<\ln(x+\sqrt{1+x^2})\leqslant 1,$$ 解得 $$0<x\leqslant\dfrac{{\rm e}^2-1}{2{\rm e}},$$ 因此 $$M=\left(0,\dfrac{{\rm e}^2-1}{2{\rm e}}\right).$$ 考虑到 $$6\cdot\dfrac{{\rm e}^2-1}{2{\rm e}}=3{\rm e}-\dfrac{3}{\rm e}\in (2\pi,3\pi),$$ 于是所求零点个数为 $2$，为 $x=\pi,2\pi$．