每日一题[1212]导数原型

设 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导的奇函数,$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数.已知 $x>0$ 时 $f(x)<f'(x)$,$f(1)={\rm e}$,不等式\[0<f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}\]的解集为 $M$,则在 $M$ 上,$g(x)=\sin 6x$ 的零点个数为_______.

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     $2$.

根据题意,有\[\left({\rm e}^{-x}\cdot f(x)\right)'={\rm e}^{-x}\cdot \left(f'(x)-f(x)\right)>0,\]令\[g(x)={\rm e}^{-x}\cdot f(x),\]则\[g(1)=1,\]于是\[\begin{array} {c|cccc}\hline x&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline g(x)&0&(0,1)&1&(1,+\infty)\\ \hline\end{array}\]于是\[f(x)\begin{cases} >0,&x>0,\\ =0,&x=0,\\ <0,&x<0,\end{cases}\]从而\[f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)>0\]即\[\ln (x+\sqrt{1+x^2})>0,\]解得\[x>0.\]又\[f\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}\]即\[{\rm e}^{-\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}f\left(\ln(x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant 1,\]因此\[0<\ln(x+\sqrt{1+x^2})\leqslant 1,\]解得\[ 0<x\leqslant\dfrac{{\rm e}^2-1}{2{\rm e}},\]因此\[M=\left(0,\dfrac{{\rm e}^2-1}{2{\rm e}}\right).\]考虑到\[6\cdot\dfrac{{\rm e}^2-1}{2{\rm e}}=3{\rm e}-\dfrac{3}{\rm e}\in (2\pi,3\pi),\]于是所求零点个数为 $2$,为 $x=\pi,2\pi$.

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