每日一题[1199]三分天下

在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 的对角线 BD 在平面 α 内,则当正方体绕着 BD 旋转的过程中,正方体在平面 α 内的投影面积 S 的取值范围是_______.

    [a2,3a2]

根据题意,所求投影为 A1B1D1,BB1D1D,CBD 在平面 α 上的投影面积之和.设平面 CBD 与平面 α 的夹角为 θ,则S=|a2cosθ|+|2a2sinθ|,

于是 S 的最小值为 a2,当 θ=0 时取得;S 的最大值为 3a2,当 θ=arctan2 时取得,因此所求投影面积 S 的取值范围是 [a2,3a2]

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