在棱长为 a 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 的对角线 BD 在平面 α 内,则当正方体绕着 BD 旋转的过程中,正方体在平面 α 内的投影面积 S 的取值范围是_______.
解 [a2,√3a2].
根据题意,所求投影为 △A1B1D1,BB1D1D,△CBD 在平面 α 上的投影面积之和.设平面 CBD 与平面 α 的夹角为 θ,则S=|a2⋅cosθ|+|√2a2⋅sinθ|,
于是 S 的最小值为 a2,当 θ=0 时取得;S 的最大值为 √3a2,当 θ=arctan√2 时取得,因此所求投影面积 S 的取值范围是 [a2,√3a2].