在棱长为 $a$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，底面 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 在平面 $\alpha$ 内，则当正方体绕着 $BD$ 旋转的过程中，正方体在平面 $\alpha$ 内的投影面积 $S$ 的取值范围是_______．
解 $\left[a^2,\sqrt 3a^2\right]$．
根据题意，所求投影为 $\triangle A_1B_1D_1,BB_1D_1D,\triangle CBD$ 在平面 $\alpha$ 上的投影面积之和．设平面 $CBD$ 与平面 $\alpha$ 的夹角为 $\theta$，则\[S=\left|a^2\cdot \cos\theta\right|+\left|\sqrt 2a^2\cdot \sin\theta\right|,\]于是 $S$ 的最小值为 $a^2$，当 $\theta=0$ 时取得；$S$ 的最大值为 $\sqrt 3 a^2$，当 $\theta=\arctan\sqrt 2$ 时取得，因此所求投影面积 $S$ 的取值范围是 $\left[a^2,\sqrt 3a^2\right]$．