每日一题[1192]最小值的最小值

已知函数 $f(x)={\rm e}^{mx-1}-\dfrac{\ln x}x$，其中 $m$ 是实数．

1、若 $m=1$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2、若 $f(x)$ 的最小值为 $m$，求 $m$ 的最小值．

解    1、根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=m{\rm e}^{mx-1}+\dfrac{\ln x-1}{x^2},$$ 当 $m=1$ 时，有 $$f'(x)=\dfrac{x^2{\rm e}^{x-1}+\ln x-1}{x^2},$$ 注意到分子部分在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，且零点为 $x=1$，于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$，单调递减区间是 $(0,1)$．

2、根据题意，函数 $$\varphi(x)=x{\rm e}^{mx-1}-mx-\ln x$$ 的最小值为 $0$，其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{(mx+1)\left(x{\rm e}^{mx-1}-1\right)}{x}.$$ 当 $m<0$ 时，考虑函数 $$\mu(x)=x{\rm e}^{mx-1}-1,$$ 则其导函数 $$\mu'(x)={\rm e}^{mx-1}(mx+1),$$ 于是 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline \mu'(x)&+&0&-\\ \hline \mu(x)&\nearrow&-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}-1&\searrow \\ \hline \end{array}$$
情形一   $m<-{\rm e}^{-2}$．此时 $\mu(x)<0$，于是 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline \varphi'(x)&-&0&+\\ \hline \varphi(x)&\searrow&\min&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 而 $$\varphi\left(-\dfrac 1m\right)=-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}+1-\ln\left(-\dfrac{1}{m}\right)=-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}-1-\ln\left(-\dfrac{1}{m{\rm e}^2}\right)>0,$$ 不符合题意．
情形二   $m=-{\rm e}^{-2}$．此时 $\mu(x)\leqslant 0$，等号当且仅当 $x=-\dfrac 1m$ 时取得，于是 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&\left(0,-\dfrac 1m\right)&-\dfrac 1m&\left(-\dfrac 1m,+\infty\right)\\ \hline \varphi'(x)&-&0&+\\ \hline \varphi(x)&\searrow&0&\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的最小值为 $-{\rm e}^{-2}$．