每日一题[1186]指对混合不等式

求证：$x^x>4\ln x$．

解    题中不等式即\[x\ln x>\ln\ln x+\ln 4,\]也即\[x{\rm e}^x>\ln x+\ln 4,\]也即\[\dfrac{{\rm e}^x}{x^{\frac 12}}>\dfrac{\ln x+\ln 4}{x^{\frac 32}}.\]事实上，不难证明\[\dfrac{{\rm e}^x}{x^{\frac 12}}\geqslant \sqrt {2{\rm e}}>\dfrac 23{\rm e}^{\frac 54}\geqslant \dfrac{\ln x+\dfrac 32}{x^{\frac 32}}>\dfrac{\ln x+\ln 4}{x^{\frac 32}},\]因此命题得证．