每日一题[1179]整数有多少？

记 $f(n)$ 是最接近 $\sqrt n$ 的整数，若

$$\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=4034 ,$$ 则正整数 $m$ 的值是_______．

解    根据题意，若

$$f(n)=k,$$ 则 $$\begin{cases} \left|k-\sqrt n\right|\leqslant \left|k+1-\sqrt n\right|,\\ \left|k-\sqrt n\right|\leqslant \left|(k-1)-\sqrt n\right|,\end{cases}$$ 于是 $$k^2-k+\dfrac 14\leqslant n\leqslant k^2+k+\dfrac 14,$$ 进而 $$k^2-k+1\leqslant n\leqslant k^2+k.$$ 因此取值为 $k$ 的自变量有 $2k$ 个．因此 $$\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}$$ 由 $2017$ 组数之和构成，每组数均为 $2k$ 个 $\dfrac 1k$，最后一组数为 $4034$ 个 $\dfrac{1}{2017}$．因此 $$m=2017^2+2017=2017\cdot 2018.$$