每日一题[1180]第二计划

已知椭圆 $C$ 的中心在原点,焦点在 $x$ 轴上,点 $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点,直线 $l:x=4$ 是椭圆 $C$ 的右准线,$F$ 到直线 $l$ 的距离等于 $3$.

1、求椭圆 $C$ 的方程;

2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点,$PM\perp l$,垂足为 $M$,是否存在点 $P$,使得 $\triangle FPM$ 为等腰三角形?若存在,求出 $P$ 的坐标;若不存在请说明理由.

    1、设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$,$c=\sqrt{a^2-c^2}$.根据题意有\[\begin{cases} \dfrac{a^2}{c}=4,\\ \dfrac{b^2}{c}=3,\end{cases}\] 解得$$(a,b,c)=(2,\sqrt3,1),$$因此椭圆 $C$ 的方程为$$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1.$$

2、如图.

根据椭圆的焦点准线定义可知 $PM=2PF$,于是若 $\triangle PFM$ 为等腰三角形,则 $PM$ 和 $MF$ 都不为底边.若 $PF$ 为底边,则\[\cos\angle MPF=\dfrac 14,\]于是根据椭圆的焦半径公式II,有\[PF=\dfrac{b^2}{a-c\cos\angle PFO}=\dfrac{12}7,\]从而\[PM=2PF=\dfrac{24}7,\]进而 $P$ 点的横坐标为 $\dfrac 47$,代入椭圆方程可得 $P\left(\dfrac47,\pm\dfrac{3\sqrt{15}}{7}\right)$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1180]第二计划》有 5 条评论

  1. ildbest说:

    您好…不是很懂PF的值怎么算的,而且带入公式好像也不是那个值啊…

发表评论