每日一题[1178]减少变数

已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc(a+b+c)=1$,则 $(a+b)(b+c)(a+c)$ 的最小值为_______.

    由于$$abc(a+b+c)=1,$$所以$$(a+b)(a+c)=bc+\dfrac1{bc},$$于是$$\begin{split} (a+b)(a+c)(b+c)&=(b+c)\left(bc+\dfrac1{bc}\right)\\ &=(b+c)\left(bc+\dfrac1{3bc}+\dfrac1{3bc}+\dfrac1{3bc}\right)\\ &\geqslant 2\sqrt{bc}\cdot 4\sqrt[4]{\dfrac1{27b^2c^2}}\\ &=\dfrac{8\sqrt[4]3}{3},\end{split}$$等号当 $a=b=c=3^{-\frac14}$ 时取得,因此所求的最小值 $\dfrac{8\sqrt[4]3}{3}$.

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