每日一题[1179]整数有多少?

记 $f(n)$ 是最接近 $\sqrt n$ 的整数,若\[\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=4034 ,\]则正整数 $ m$ 的值是_______.

    根据题意,若\[f(n)=k,\]则\[\begin{cases} \left|k-\sqrt n\right|\leqslant \left|k+1-\sqrt n\right|,\\ \left|k-\sqrt n\right|\leqslant \left|(k-1)-\sqrt n\right|,\end{cases} \]于是\[k^2-k+\dfrac 14\leqslant n\leqslant k^2+k+\dfrac 14,\]进而\[k^2-k+1\leqslant n\leqslant k^2+k.\]因此取值为 $k$ 的自变量有 $2k$ 个.因此\[\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}\]由 $2017$ 组数之和构成,每组数均为 $2k$ 个 $\dfrac 1k$,最后一组数为 $4034$ 个 $\dfrac{1}{2017}$.因此\[m=2017^2+2017=2017\cdot 2018.\]

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