每日一题[1185]数列中的不定方程

在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\dfrac 25$，$a_{n+1}=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$．

1、令 $b_n=\dfrac{2a_n}{2-3a_n}$，求证：数列 $\{b_n\}$ 成等差数列；

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

3、是否存在正整数 $k,m,n$（$1\leqslant k<m<n$），使 $a_k,a_m,a_n$ 成等比数列？若存在，请写一组 $(k,m,n)$ 的值，若不存在，请证明你的结论．

解    1、根据题意，有 $$a_{n+1}-\dfrac 23=\dfrac{2a_n-4}{9a_n-10}-\dfrac 23=-\dfrac{4\left(a_n-\dfrac 23\right)}{9a_n-10},$$ 于是 $$\dfrac{1}{a_{n+1}-\dfrac 23}=-\dfrac{9a_n-10}{4\left(a_n-\dfrac 23\right)}=-\dfrac 94+\dfrac{1}{a_n-\dfrac 23},$$ 于是 $$\dfrac{2a_{n+1}}{2-3a_{n+1}}-\dfrac{2a_n}{2-3a_n}=1,$$ 因此数列 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，有 $$b_n=n,n\in\mathbb N^{\ast},$$ 于是可得 $$a_n=\dfrac{2n}{3n+2},n\in\mathbb N^{\ast}.$$

3、根据题意，有 $$\dfrac{2k}{3k+2}\cdot \dfrac{2n}{3n+2}=\left(\dfrac{2m}{3m+2}\right)^2,$$ 整理可得 $$n=\dfrac{(3k+2)m^2}{2k+6km-3m^2},$$ 注意到当 $m=2k$ 时，该方程即 $$n=2k(3k+2),$$ 于是存在无数组符合题意的 $(k,m,n)$，例如 $\left(k,2k,6k^2+4k\right)$，其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$．