每日一题[1177]化齐次

实数 $x,y$ 满足 $2^{2x+y}+2^{x+2y}=4^x+4^y$,则 $\dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}$ 的最大值是_______.

    根据题意设 $a=2^x$,$b=2^y$,则$$a^2b+ab^2=a^2+b^2,$$于是$$\begin{split} \dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}&=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\\ &=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\cdot \left(\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}\right)^2\\ &=\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}\\ &\leqslant 2,\end{split}$$ 等号当 $a=b$ 时取得,因此所求表达式最大值为 $2$.

此条目发表在每日一题分类目录。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[1177]化齐次》有 1 条评论

  1. wyeehang wyeehang说:

    从百日复习到现在每天晚上有空就做做 感觉还挺得心应手的 这个网站

发表评论