每日一题[1180]第二计划

已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，点 $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点，直线 $l:x=4$ 是椭圆 $C$ 的右准线， $F$ 到直线 $l$ 的距离等于 $3$ ．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点， $PM\perp l$ ，垂足为 $M$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $\triangle FPM$ 为等腰三角形？若存在，求出 $P$ 的坐标；若不存在请说明理由．

解 1、设椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ ， $c=\sqrt{a^2-c^2}$ ．根据题意有

$\begin{cases} \dfrac{a^2}{c}=4,\\ \dfrac{b^2}{c}=3,\end{cases}$ 解得

$(a,b,c)=(2,\sqrt3,1),$ 因此椭圆

$C$ 的方程为

$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1.$

2、如图．

根据椭圆的焦点准线定义可知 $PM=2PF$ ，于是若 $\triangle PFM$ 为等腰三角形，则 $PM$ 和 $MF$ 都不为底边．若 $PF$ 为底边，则

$\cos\angle MPF=\dfrac 14,$ 于是根据椭圆的焦半径公式II，有

$PF=\dfrac{b^2}{a-c\cos\angle PFO}=\dfrac{12}7,$ 从而

$PM=2PF=\dfrac{24}7,$ 进而

$P$ 点的横坐标为

$\dfrac 47$ ，代入椭圆方程可得

$P\left(\dfrac47,\pm\dfrac{3\sqrt{15}}{7}\right)$ ．

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