每日一题[1181]椭圆的内准圆

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$，过点 $P(0,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，以线段 $AB$ 为直径作圆，试问该圆能否经过原点？若能，求出以 $AB$ 为直径的圆过原点时直线 $l$ 的方程；若不能，请说明理由．

解法一    显然直线 $AB$ 斜率存在，设为 $k$．则直线 $AB$ 方程 $l_{AB}:y=kx+3$．设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由直线方程 $l_{AB}$ 与椭圆方程 $C$ 联立消 $y$ 可得

$$(4+9k^2)x^2+54kx+45=0,$$ 于是 $$\begin{cases} x_1x_2=\dfrac{45}{4+9k^2},\\ x_1+x_2=-\dfrac{54k^2}{4+9k^2}.\end{cases}$$ 由于 $$\begin{split} \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}&=x_1x_2+y_1y_2\\ &=x_1x_2+(kx_1+3)(kx_2+3)\\ &=(k^2+1)x_1x_2+3k(x_1+x_2)+9\\ &=\dfrac{81-36k^2 }{4+9k^2}\end{split}$$ 若以 $AB$ 为直径的圆经过原点，则 $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0,$$ 即有 $k=\pm \dfrac32$．因此符合题设的直线 $l_{AB}$ 方程为 $3x-2y+6=0$ 或 $3x+2y-6=0$．

解法二    根据题意，若以 $AB$ 为直径的圆过原点 $O$，则 $OA\perp OB$．设直线 $l$ 的方程为

$$kx+y-3=0,$$ 根据椭圆的内准圆性质，有 $$\dfrac{k^2+1}{9}=\dfrac 19+\dfrac 14,$$ 于是 $$k^2=\dfrac 94,$$ 进而直线 $l$ 的方程为 $\pm 3x-2y+6=0$．