每日一题[1177]化齐次

实数 $x,y$ 满足 $2^{2x+y}+2^{x+2y}=4^x+4^y$，则 $\dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}$ 的最大值是_______．

解    根据题意设 $a=2^x$，$b=2^y$，则

$$a^2b+ab^2=a^2+b^2,$$ 于是 $$\begin{split} \dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}&=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}\\ &=\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\cdot \left(\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}\right)^2\\ &=\dfrac{(a+b)^2}{a^2+b^2}\\ &\leqslant 2,\end{split}$$ 等号当 $a=b$ 时取得，因此所求表达式最大值为 $2$．