每日一题[1169]递推

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{2x-2}}{x}$（$x\ne 0$），记 $f_n(x)=f_{n-1}'(x)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），$f_0(x)=f(x)$．

（1）求 $f_2(1)+f_3(1)$ 的值；

（2）求证：$nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n$．

解    （1）根据题意，有\[\begin{split} f_1(x)&=\dfrac{2x-1}{x^2}\cdot {\rm e}^{2x-2},\\ f_2(x)&=\dfrac{4x^2-4x+2}{x^3}\cdot {\rm e}^{2x-2},\\ f_3(x)&=\dfrac{8x^4-12x^3+12x^2-6}{x^4}\cdot {\rm e}^{2x-2},\end{split}\]于是\[f_2(1)+f_3(1)=2+2=4.\]

（2）根据题意，有\[\left(xf(x)\right)'=2{\rm e}^{2x-2},\]也即\[f(x)+xf'(x)=2{\rm e}^{2x-2},\]两边再求导可得\[2f'(x)+xf''(x)=2^2{\rm e}^{2x-2},\]以此类推，可得\[nf_{n-1}(x)+xf_n(x)=2^n{\rm e}^{2x-2},\]于是\[nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n.\]