每日一题[1165]两边夹

已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足：$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)+2y\geqslant f\left(x^2+3y\right)$，且 $f(100)=100$，则 $f(200)=$_______．

解    根据题意，有

$$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)-2\left(x^2+2y\right)\geqslant f\left(x^2+3y\right)-2\left(x^2+3y\right),$$ 记 $g(x)=f(x)-2x$，则 $$\forall x,y\in \mathbb R,g\left(x^2+2y\right)\geqslant g\left(x^2+3y\right).$$ 设 $a=x^2+2y$，$b=x^2+3y$，则 $$x^2=3a-2b,y=b-a,$$ 因此若 $3a-2b\geqslant 0$，则 $$g(a)\geqslant g(b),$$ 类似的，若 $3b-2a\geqslant 0$，则 $$g(b)\geqslant g(a),$$ 于是对于正实数 $a$，有 $$\forall b\in \left[\dfrac 23a,\dfrac 32a\right],g(b)=g(a),$$ 这就意味着 $$\forall x>0,g(x)=C,$$ 其中 $C$ 为常数．因此 $$g(200)=g(100)=f(100)-2\cdot 100=-100,$$ 从而 $$f(200)=g(200)+2\cdot 200=300.$$