每日一题[1164]半角定理

在 $\triangle ABC$ 中，$AC=5$，$\dfrac {1}{\tan \dfrac A2}+\dfrac {1}{\tan \dfrac C2}-\dfrac {5}{\tan \dfrac B2}=0$，则 $BC+AB=$ _______．

解    记 $\triangle ABC$ 中 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，半周长为 $p$，则根据半角定理，有

$$\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}}+\sqrt{\dfrac{p(p-c)}{(p-a)(p-b)}}=5\cdot \sqrt{\dfrac{p(p-b)}{(p-a)(p-c)}},$$ 于是 $$p-a+p-c=5(p-b),$$ 即 $$a+c=5b-3p,$$ 因此 $$2p=6b-3p,$$ 从而 $p=6$，于是 $$a+c=5b-3p=7.$$