每日一题[1162]重新组合

已知 $a_1,a_2,\cdots,a_9$ 为 $1,2,\cdots,9$ 的任意一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为_______．

解设题中代数式为 $M$ ．一方面，有

$9\cdot 8\cdot 1+7\cdot 5\cdot 2+6\cdot 4\cdot 3=72+70+72=214.$ 另一方面，根据均值不等式，有

$M\geqslant 3\sqrt[3]{9!}=3\sqrt[3]{72\cdot 70\cdot 72}>3\sqrt[3]{ 71^3}=213,$ 因此

$M\geqslant 214.$ 综上所述，所求

$M$ 的最小值为

$214$ ．

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