每日一题[1158]一较高下

若实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$，则 $3ab-3bc+2c^2$ 的最大值为______．

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正确答案是$3$．

分析与解　法一　根据题意，引入参数 $\lambda,\mu$，且 $\lambda,\mu>0$，有

$$3ab-3bc+2c^2\leqslant \dfrac 32\cdot \left(\lambda a^2+\dfrac{b^2}{\lambda}+\mu b^2+\dfrac{c^2}{\mu}+\dfrac {4c^2}3\right),$$ 令 $$\lambda=\dfrac{1}{\lambda}+\mu=\dfrac{1}{\mu}+\dfrac 43,$$ 解得 $\lambda =2$，$\mu=\dfrac 32$，于是 $$3ab-3bc+2c^2\leqslant \dfrac 32\cdot \left(2a^2+2b^2+2c^2\right)=3,$$ 等号当 $2a=b$ 且 $\dfrac 32b=-c$，也即 $$(a,b,c)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{14}},\dfrac{2}{\sqrt{14}},-\dfrac{3}{\sqrt{14}}\right)$$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $3$．

法二　设

$$F(a,b,c,\lambda)=3ab-3bc+2c^2+\lambda\left(a^2+b^2+c^2-1\right),$$ 则由拉格朗日乘数法，可得 $$\begin{cases} 3b+2a\lambda=0,\\3a-3c+2b\lambda=0 ,\\-3b+4c+2c\lambda=0,\\a^2+b^2+c^2-1=0,\end{cases}$$ 于是 $$\lambda=-\dfrac{3b}{2a}=\dfrac{3c-3a}{2b}=\dfrac{3b-4c}{2c},$$ 进而可得 $$\dfrac ba=2,\dfrac cb=-\dfrac 32,\lambda=-3.$$ 因此有 $$3ab-3bc+2c^2-3\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=3-\dfrac 34(2a-b)^2-\dfrac 14(3b+2c)^2\leqslant 3,$$ 因此所求代数式的最大值为 $3$．

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下面给出一道练习：

已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 为曲线 $2xy-5x-4y+6=0$ 上的动点，则 $OP$ 的最小值为_______．

正确答案是$\dfrac{\sqrt5}2$．

解　设目标函数为 $f(x,y)=x^2+y^2$，考虑函数 $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$，由拉格朗日乘数法可得

$$\begin{cases} 2x+\lambda\cdot \left(2y-5\right)=0,\\ 2y+\lambda\cdot \left(2x-4\right)=0,\end{cases}$$ 解得 $$(x,y,\lambda)=\left(1,\dfrac 12,\dfrac 12\right).$$ 于是 $$\begin{split} OP^2&=x^2+y^2\\&=x^2+y^2+\dfrac 12\left(2xy-5x-4y+6\right)\\&=\left(x+\dfrac 12y-\dfrac 54\right)^2+\dfrac 34\left(y-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 54\\&\geqslant \dfrac 54,\end{split}$$ 等号当 $\left(x,y\right)=\left(1,\dfrac 12\right)$ 时取得．因此所求 $OP$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt 5}2$．