每日一题[1146]双管齐下

已知曲线 $E:\dfrac1x+\dfrac{2\sqrt2}y=1$（$x,y>0$），则曲线 $E$ 上的点到原点距离的最小值为_______．

正确答案是$3\sqrt3$．

法一　由权方和不等式可得 $$\begin{split}\dfrac 1x+\dfrac {2\sqrt 2}y=&\dfrac{1^{\frac 32}}{\left(x^2\right)^{\frac 12}}+\dfrac{2^{\frac 32}}{\left(y^2\right)^{\frac 12}}\\\geqslant &\dfrac{(1+2)^{\frac 32}}{\sqrt{x^2+y^2}},\end{split}$$ 于是 $$\sqrt{x^2+y^2}\geqslant 3\sqrt 3,$$ 等号当 $2x^2=y^2$，即 $(x,y)=\left(3,3\sqrt 2\right)$ 时取得．因此所求的最小值为 $3\sqrt 3$．

法二　根据题意，有 $$y=\dfrac{2\sqrt2x}{x-1},$$ 则曲线上点 $(x,y)$ 到原点距离 $m$ 的平方 $$\begin{split}m^2=&x^2+y^2\\=&x^2+\left(\dfrac{2\sqrt2x}{x-1}\right)^2\\=&\dfrac{x^4-2x^3+9x^2}{(x-1)^2},\end{split}$$ 记等式右边的函数为 $f(x)$，其中 $x>1$．函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{2x(x-3)(x^2+3)}{(x-1)^3},$$ 所以 $f(x)$ 在 $x=3$ 处取得极小值，亦为最小值 $$f(3)=27,$$ 因此所求距离最小值为 $3\sqrt 3$．