每日一题[1131]避其锋芒

设函数 $f(x)=x^2-a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$），$g(x)=f'(x)$．

（1）当 $a={\rm e}$ 时，求 $g(x)$ 的极大值点；

（2）讨论 $f(x)$ 的零点个数．

分析与解　（1）函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=2x-\ln a\cdot a^x,$$ 于是函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=2-\ln^2a \cdot a^x.$$ 当 $a={\rm e}$ 时，有 $$g'(x)=2-{\rm e}^x,$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-\infty,\ln 2)&\ln 2&(\ln 2,+\infty)\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&\nearrow&{\max}&\searrow \\ \hline \end{array}$$
于是 $g(x)$ 的极大值点为 $x=\ln 2$．

（2）注意到 $$f(-x)=x^2-\left(\dfrac 1a\right)^x,$$ 于是当 $0<a<1$ 时，可以转化为 $a>1$ 的情形研究．

先考虑 $a>1$．函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递减，且 $$f(-1)=1-\dfrac 1a>0,f(0)=-1<0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上有 $1$ 个零点．

当 $x>0$ 时，方程 $$x^2-a^x=0$$ 即 $$\dfrac{\ln x}x=\dfrac{\ln a}2,$$ 考虑到函数 $\varphi(x)=\dfrac{\ln x}x$ 的导函数 $$\left(\dfrac{\ln x}x\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x^2},$$ 因此其单调性 $$\begin{array} {c|ccc}\hline x&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline \varphi'(x)&+&0&-\\ \hline \varphi(x)&\nearrow&{\max}={\rm e}^{-1}&\searrow \\ \hline \end{array}$$
情形一　当 $\dfrac{\ln a}2>{\rm e}^{-1}$ 也即 $a>{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}$ 时，则函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有零点；
情形二　当 $\dfrac{\ln a}2={\rm e}^{-1}$ 也即 $a={\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}$ 时，则函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $1$ 零点，为 $x={\rm e}$；
情形三　当 $0<\dfrac{\ln a}2<{\rm e}^{-1}$ 也即 $1<a<{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}$ 时，则由于 $$\varphi\left({\rm e}^{-1}\right)=-{\rm e}<0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上有 $1$ 个零点；又由于当 $x>{\rm e}$ 时，有 $$\dfrac{\ln x}x<\dfrac{2\left(\sqrt x-1\right)}x<\dfrac{2}{\sqrt x},$$ 于是取 $m=\max\left\{{\rm e},\dfrac{16}{\ln^2a}\right\}$ 时，有 $$\varphi(m)<\dfrac{\ln a}2,$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $({\rm e},+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．因此函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点．

综上所述，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $$\begin{cases} 1,&a\in\left(0,{\rm e}^{-\frac{2}{\rm e}}\right)\cup\left({\rm e}^{\frac{2}{\rm e}},+\infty\right),\\2,&a\in\left\{{\rm e}^{-\frac{2}{\rm e}},{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}\right\},\\3,&a\in\left({\rm e}^{-\frac{2}{\rm e}},1\right)\cup\left(1,{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}\right).\end{cases}$$