每日一题[1130]向量三角联手

已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，且满足 $\angle BAC=60^\circ$，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $x\geqslant 0$，则 $x+4y$ 的最大值是_______．

正确答案是$2$．

分析与解　根据三角形向量的外心表示，有 $$\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2\sin A}\left(\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}\right),$$ 因此 $$\begin{cases} x=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\cos B}{\sin C},\\ y=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\cos C}{\sin B}.\end{cases}$$ 根据题意，$B$ 的范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right]$，当 $B=\dfrac{\pi}2$ 时，有 $x+4y=2$．当 $0<B<\dfrac{\pi}2$ 时，有 $$\begin{split} x+4y&= \dfrac{\cos B}{\sqrt 3\sin\left(\dfrac{2\pi}3-B\right)}+\dfrac{4\cos \left(\dfrac{2\pi}3-B\right)}{\sqrt 3\sin B}\\&=\dfrac{1}{\dfrac 32+\dfrac{\sqrt 3}2\tan B}+\dfrac{-2+2\sqrt 3\tan B}{\sqrt 3\tan B}\\&=\dfrac{2}{3+\sqrt 3\tan B}-\dfrac{2}{\sqrt 3\tan B}+2\\&<2,\end{split}$$ 因此所求的最大值为 $2$．

另解　将 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ 的两边同时与 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 数乘得到 $$\begin{cases} (1-2x)c=by,\\xc=(1-2y)b,\end{cases}$$ 从而有 $$\dfrac{1-2x}{x}=\dfrac{y}{1-2y},$$ 解得 $y=\dfrac{1-2x}{2-3x}$，从而有 $$x+4y=x+4\cdot\dfrac{1-2x}{2-3x}=\dfrac{10}3-\dfrac 13\left(t+\dfrac t4\right),$$ 其中 $t=2-3x\leqslant 2$．于是当 $t=2$，即 $x=0$ 时，$x+4y$ 取到最大值 $2$．