每日一题[1128]外心的向量表达

已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，若 $A=\dfrac{\pi}3$，且 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow {AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$，则 $m=$ ______．

正确答案是$\dfrac{\sqrt 3}2$．

分析与解　由于 $$\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac 12AB^2,$$ 于是有 $$\dfrac{\cos B}{\sin C}\cdot AB^2+\dfrac{\cos C}{\sin B}\cdot \cos A\cdot AB\cdot AC=m\cdot AB^2,$$ 两边同除以 $AB^2$，应用正弦定理，可得 $$\begin{split} m&=\dfrac{\cos B}{\sin C}+\dfrac{\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\&=\dfrac{-\cos (A+C)+\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\&=\sin A\\&=\dfrac{\sqrt 3}2.\end{split}$$ 注　事实上，此题给出了三角形外心的向量表示．

下面给出一道练习：

已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$AB=6$，$AC=10$，若 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $2x+10y=5$，则 $\triangle ABC$ 的面积为________．

正确答案是$24$ 或 $20\sqrt 2$．

解　根据题意，有 $$\begin{cases} \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB},\\\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC},\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases} \dfrac 12AB^2=x\cdot AB^2+y\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A,\\ \dfrac 12AC^2= x\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A+y\cdot AC^2,\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases} 18=36x+60y\cdot\cos A,\\ 50=60x\cdot \cos A+100y,\end{cases}$$ 又 $2x+10y=5$，解得 $$(x,y,\cos A)=\left(0,\dfrac 12,\dfrac 35\right),\left(\dfrac 14,\dfrac{9}{20},\dfrac 13\right).$$ 因此 $\triangle ABC$ 的面积为 $$\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot \sqrt{1-\cos^2A}=24,20\sqrt 2.$$