每日一题[1127]视变为常

已知 $f(x)=x\ln x+(1-x)\ln (1-x)$．

（1）求 $f(x)$ 的最小值；

（2）若 $a+b+c=1$，$a,b,c\in (0,1)$，求证：$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant (a-2)\ln 2$．

分析与解（1）根据题意，有 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\ln x-\ln (1-x),$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&\left(0,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)\\ \hline f'(x)&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow&\min &\nearrow \\ \hline \end{array}$$ 于是函数 $f(x)$ 的最小值为 $$f\left(\dfrac 12\right)=-\ln 2.$$ （2）视 $a$ 为常数，问题转化为

新问题　已知 $b+c=1-a$，其中 $b,c \in(0,1-a)$，$a\in (0,1)$，求证：$b\ln b+c\ln c$ 的最小值不小于 $(a-2)\ln 2-a\ln a$．

由于 $$\dfrac{b}{1-a}+\dfrac {c}{1-a}=1,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结论，有 $$\dfrac{b}{1-a}\ln\dfrac{b}{1-a}+\dfrac{c}{1-a}\ln\dfrac{c}{1-a}\geqslant -\ln 2,$$ 也即 $$\begin{split} b\ln b+c\ln c&\geqslant -(1-a)\ln 2+(b+c)\ln(1-a)\\ &=-(1-a)\ln 2+(1-a)\ln(1-a)\\&=-(1-a)\ln 2-a\ln a+a\ln a+(1-a)\ln(1-a)\\&=-(1-a)\ln 2-a\ln a-\ln 2\\&=(a-2)\ln 2-a\ln a,\end{split}$$ 因此原不等式得证．