函数 y=√1+2x+√1−3x 的值域是_______.
正确答案是[√153,5√66].
分析与解 题中函数的定义域是 [−12,13].一方面,根据柯西不等式,有√1+2x+√1−3x=√2⋅√12+x+√3⋅√13−x⩽√5⋅√12+13=5√6,等号当212+x=313−x,即 x=−16 时取得,因此 y 的最大值为 5√66.
另一方面,有y=√2−x+2√(1+2x)(1−3x)⩾√2−13=√153,等号当 x=13 时取得.
结合函数的连续性,所求函数的值域为 [√153,5√66].
求最小值时化到根号下2-1/3的那一步没看懂?用的是基本不等式的那一个?
二次根式非负