每日一题[1118]统一“度量衡”

已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-x,&x\leqslant 0,\\ -x^2+x,&x>0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则实数 $m$ 的取值范围 $D$ 是_______，当 $m$ 在 $D$ 内变化时，$x_1+x_2x_3$ 的取值范围是_______．

正确答案是$\left(0,\dfrac 14\right)$，$\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right)$．

分析与解　法一　选择$m$来表示$x_1,x_2,x_3$

如图作出 $f(x)$ 的图象，可知实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\right)$．此时 $x_1$ 是关于 $x$ 的方程 $$2x^2-x=m$$ 的较小实根，$x_2,x_3$ 是关于 $x$ 的方程 $$-x^2+x=m$$ 的两个实根．因此 $$x_1=\dfrac{1-\sqrt{1+8m}}4,x_2x_3=m,$$ 因此问题转化为求函数 $$y=\dfrac{1-\sqrt{1+8m}}4+m,m\in\left(0,\dfrac 14\right)$$ 的值域．令 $t=\sqrt{1+8m}$，则 $t$ 的取值范围是 $\left(1,\sqrt 3\right)$，此时 $$y=\dfrac{1-t}4+\dfrac {t^2-1}8=\dfrac{(t-1)^2}{8},$$ 因此所求的取值范围是 $\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right)$．

法二　选择$x_1$来表示$x_2,x_3$

将 $x_1+x_2x_3$ 转化为关于 $x_1$ 的表达式，因为 $$x_2x_3=m=2x_1^2-x_1,$$ 所以 $x_1+x_2x_3=x_1^2$，关键是求 $x_1$ 的取值范围．

因为$x_1$是 $$0<2x^2-x<\dfrac 14$$ 的小根，解得 $x_1\in\left(\dfrac{1-\sqrt 3}4,0\right)$，从而有 $$x_1+x_2x_3\in\left(0,\dfrac{2-\sqrt 3}4\right).$$