每日一题[1117]割线斜率

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-ax$（$a>0$）．如果 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$ 和 $B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$，若 $k>-\dfrac{2}{\rm e}$，求实数 $a$ 的取值范围．

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分析与解　函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-a,$$ 于是当 $a>2$ 时，函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，其中 $$a={\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{-x_1}.$$ 考虑到函数 $f(x)$ 为奇函数，因此直线 $AB$ 经过原点 $O$，不妨设 $x_1>0>x_2$，进而 $$k=\dfrac{f(x_1)}{x_1}=\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{-x_1}-ax_1}{x_1}>-\dfrac{2}{\rm e},$$ 因此 $$\dfrac{{\rm e}^{x_1}-{\rm e}^{-x_1}}{x_1}-\left({\rm e}^{x_1}+{\rm e}^{-x_1}\right)>-\dfrac{2}{\rm e}.$$ 记 $$\varphi(x)=\dfrac{{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{x}-\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}\right),$$ 则其导函数 $$\begin{split}\varphi'(x)=&-\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}\right)\cdot \left(1+\dfrac 1{x^2}\right)+\dfrac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}x\\=&\dfrac 1{x^2}\left[x({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})-(x^2+1)({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})\right],\end{split}$$ 记 $g(x)=x({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})-(x^2+1)({\rm e}^x-{\rm e}^{-x})$，则 $$g'(x)=-x^2({\rm e}^x+{\rm e}^{-x})-x({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}),$$ 当 $x>0$ 时，$g'(x)<0$，且 $g(0)=0$，所以 $$\forall x>0,g(x)<0.$$ 于是在 $(0,+\infty)$ 上 $\varphi'(x)<0$，结合 $\varphi(x)$ 为偶函数得到 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．又 $\varphi(1)=-\dfrac 2{\rm e}$，所以由 $\varphi(x_1)>\varphi(1)$ 得到 $0<x_1<1$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(2,{\rm e}+\dfrac{1}{\rm e}\right)$．