每日一题[1116]各显神通

$E,F$ 是等腰直角 $\triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点，则 $\tan \angle ECF =$ （ 　   ）
A．$\dfrac{16}{27}$
B．$\dfrac{2}{3}$
C．$\dfrac{\sqrt 3 }{3}$
D．$\dfrac{3}{4}$

正确答案是D．

分析与解　法一　设 $A(3,0)$，$B(0,3)$，$C(0,0)$，则 $E(1,2)$，$F(2,1)$．所以 $$\cos \angle ECF = \dfrac{\overrightarrow {CE} \cdot \overrightarrow {CF} }{\left|{\overrightarrow {CE}}\right|\cdot \left|{\overrightarrow {CF}}\right|}= \dfrac{1\cdot 2+2\cdot 1}{\sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{2^2+1^2}} = \dfrac{4}{5},$$ 进而可求得 $\tan \angle ECF = \dfrac{3}{4}$．

法二　不妨设 $AB=6$，$CA=CB=3\sqrt 2$，取 $EF$ 的中点 $M$，则 $$EM=\dfrac 16AB=1,$$ 且 $$CM=\dfrac 12AB=3,$$ 于是 $$\tan\dfrac {\angle ECF}2=\dfrac{EM}{CM}=\dfrac 13,$$ 从而 $$\tan \angle ECF=\dfrac{2\tan\dfrac {\angle ECF}2}{1-\tan^2\dfrac {\angle ECF}2}=\dfrac{2\cdot\dfrac 13}{1-\left(\dfrac 13\right)^2}=\dfrac 34.$$

下面给出一道练习：

在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=4$，且 $\tan A\cdot \tan B=\dfrac 34$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_______．

正确答案是$2\sqrt 3$．

解　法一　根据题意可知 $A,B$ 均为锐角，过 $C$ 作 $AB$ 边上的垂线，垂足为 $H$．设 $AH=2+x$，$BH=2-x$，则有 $$\dfrac{CH}{AH}\cdot \dfrac{CH}{BH}=\dfrac 34,$$ 也即 $$CH=\sqrt{\dfrac 34\cdot AH\cdot HB}=\sqrt{\dfrac 34\left(4-x^2\right)}\leqslant \sqrt 3,$$ 因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $$\dfrac 12\cdot 4\cdot \sqrt 3=2\sqrt 3.$$
法二　以$AB$的中点为原点，$AB$所在直线为$x$轴建立直角坐标系，则$A(-2,0),B(2,0)$，设$C(x,y)$，因为$A,B$均为锐角，所以有 $$-\dfrac{y-0}{x+2}\cdot\dfrac{y-0}{x-2}=\dfrac 34,$$ 得到点 $C$ 在椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$上，从而$\triangle ABC$的面积最大值为$\dfrac 12\cdot 4\cdot\sqrt 3=2\sqrt 3$，当点$C$为椭圆短轴端点时取到．