每日一题[1110]函数“一锅鲜”

已知 g(x)=x22ax+1 在区间 [1,3] 上的值域为 [0,4]
(1)求 a 的值;
(2)若不等式 g(2x)k4x0x[1,+) 上恒成立,求实数 k 的取值范围;
(3)若函数 y=g(|2x1|)|2x1|+k2|2x1|3k3 个零点,求实数 k 的取值范围.


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分析与解 (1)根据题意,函数 g(x) 的最大值必然在区间端点处取得,因此有g(1)=4g(3)=4,解得 a=1a=1.经检验可得 a 的值为 1

(2)设 2x=t,则不等式即t22t+1kt20,(1k)t22t+10.题意即t2,(1k)t22t+10,也即t2,1k(1t)2+2t,也即1k34,因此 k 的取值范围是 (,14]

(3)令 t=|2x1|t0,如图.t 的不同取值与 x 的取值个数 n 的对应关系如下t(,0)(0,1)[1,+)n021下面有两种思路:

思路一  考虑方程t22t+1+2k3kt=0,也即k=t22t+13t2,记右侧函数为 φ(t),则φ(t)=19[(3t2)+13t2]29,直线 y=kφ(t) 图象有两个公共点,且横坐标分别在 (0,1)[1,+) 内.

如图,可得 k 的取值范围是 (0,+)

思路二  考虑关于 t 的方程t22t+1+2k3kt=0,也即t2(3k+2)t+2k+1=0,的两根分别位于区间 (0,1)[1,+) 内.
情形一 t=1 是方程的根.此时 k=0,不符合题意.
情形二 t=1 不是方程的根.此时问题即
{(t2(3k+2)t+2k+1)|t=0>0,(t2(3k+2)t+2k+1)|t=1<0,解得 k>0
综上所述,实数 k 的取值范围是 (0,+)

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