已知 g(x)=x2−2ax+1 在区间 [1,3] 上的值域为 [0,4].
(1)求 a 的值;
(2)若不等式 g(2x)−k⋅4x⩾0 在 x∈[1,+∞) 上恒成立,求实数 k 的取值范围;
(3)若函数 y=g(|2x−1|)|2x−1|+k⋅2|2x−1|−3k 有 3 个零点,求实数 k 的取值范围.
分析与解 (1)根据题意,函数 g(x) 的最大值必然在区间端点处取得,因此有g(1)=4∨g(3)=4,解得 a=−1 或 a=1.经检验可得 a 的值为 1.
(2)设 2x=t,则不等式即t2−2t+1−k⋅t2⩾0,即(1−k)t2−2t+1⩾0.题意即∀t⩾2,(1−k)t2−2t+1⩾0,也即∀t⩾2,1−k⩾−(1t)2+2t,也即1−k⩾34,因此 k 的取值范围是 (−∞,14].
(3)令 t=|2x−1| 且 t≠0,如图.t 的不同取值与 x 的取值个数 n 的对应关系如下t(−∞,0)(0,1)[1,+∞)n021下面有两种思路:
思路一 考虑方程t2−2t+1+2k−3kt=0,也即k=t2−2t+13t−2,记右侧函数为 φ(t),则φ(t)=19[(3t−2)+13t−2]−29,直线 y=k 与 φ(t) 图象有两个公共点,且横坐标分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 内.
思路二 考虑关于 t 的方程t2−2t+1+2k−3kt=0,也即t2−(3k+2)t+2k+1=0,的两根分别位于区间 (0,1) 和 [1,+∞) 内.
情形一 t=1 是方程的根.此时 k=0,不符合题意.
情形二 t=1 不是方程的根.此时问题即
{(t2−(3k+2)t+2k+1)|t=0>0,(t2−(3k+2)t+2k+1)|t=1<0,解得 k>0.
综上所述,实数 k 的取值范围是 (0,+∞).