每日一题[1110]函数“一锅鲜”

已知 $g(x)=x^2-2ax+1$ 在区间 $[1,3]$ 上的值域为 $[0,4]$．
（1）求 $a$ 的值；
（2）若不等式 $g\left(2^x\right)-k\cdot 4^x\geqslant 0$ 在 $x\in [1,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）若函数

$$y=\dfrac{g\left(|2^x-1|\right)}{|2^x-1|}+k\cdot \dfrac{2}{|2^x-1|}-3k$$ 有 $3$ 个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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分析与解　（1）根据题意，函数 $g(x)$ 的最大值必然在区间端点处取得，因此有

$$g(1)=4\lor g(3)=4,$$ 解得 $a=-1$ 或 $a=1$．经检验可得 $a$ 的值为 $1$．

（2）设 $2^x=t$，则不等式即

$$t^2-2t+1-k\cdot t^2\geqslant 0,$$ 即 $$(1-k)t^2-2t+1\geqslant 0.$$ 题意即 $$\forall t\geqslant 2,(1-k)t^2-2t+1\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall t\geqslant 2,1-k\geqslant -\left(\dfrac 1t\right)^2+\dfrac 2t,$$ 也即 $$1-k\geqslant \dfrac 34,$$ 因此 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 14\right]$．

（3）令 $t=|2^x-1|$ 且 $t\ne 0$，如图．$t$ 的不同取值与 $x$ 的取值个数 $n$ 的对应关系如下

$$\begin{array} {c|ccc}\hline t&(-\infty,0)&(0,1)&[1,+\infty)\\ \hline n&0&2&1\\ \hline\end{array}$$ 下面有两种思路：

思路一 　考虑方程

$$t^2-2t+1+2k-3kt=0,$$ 也即 $$k=\dfrac{t^2-2t+1}{3t-2},$$ 记右侧函数为 $\varphi(t)$，则 $$\varphi(t)=\dfrac 19\left[\left(3t-2\right)+\dfrac 1{3t-2}\right]-\dfrac 29,$$ 直线 $y=k$ 与 $\varphi(t)$ 图象有两个公共点，且横坐标分别在 $(0,1)$ 和 $[1,+\infty)$ 内．

如图，可得 $k$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．

思路二 　考虑关于 $t$ 的方程

$$t^2-2t+1+2k-3kt=0,$$ 也即 $$t^2-(3k+2)t+2k+1=0,$$ 的两根分别位于区间 $(0,1)$ 和 $[1,+\infty)$ 内．
情形一　$t=1$ 是方程的根．此时 $k=0$，不符合题意．
情形二　$t=1$ 不是方程的根．此时问题即
$$\begin{cases} \left(t^2-(3k+2)t+2k+1\right)\Big|_{t=0}>0,\\ \left(t^2-(3k+2)t+2k+1\right)\Big|_{t=1}<0,\end{cases}$$ 解得 $k>0$．
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．