每日一题[1103]各个击破

已知函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac 12+\dfrac 12ax\right)+x^2-ax$（$a$ 为常数，$a>0$）．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；
（2）当 $y=f(x)$ 在 $x=\dfrac 12$ 处取得极值时，若关于 $x$ 的方程 $f(x)-b=0$ 在 $[0,2]$ 上恰有 $2$ 个实数解，求实数 $b$ 的取值范围；
（3）若对任意的 $a\in(1,2)$，总存在 $x_0\in\left[\dfrac 12,1\right]$，使不等式 $f(x_0)>m\left(a^2+2a-3\right)$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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分析与解　（1）函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x}{1+ax}\cdot \left(2ax+2-a^2\right),$$ 于是当 $a=1$ 时，有 $$\begin{split} f(1)&=\ln\left(\dfrac 12+\dfrac 12\cdot 1\cdot 1\right)+1^2-1\cdot 1=0,\\f'(1)&=\dfrac{1}{1+1\cdot 1}\cdot \left(2\cdot 1\cdot 1+2-1^2\right)=\dfrac 32,\end{split}$$ 因此所求切线方程为 $3x-2y-3=0$．

（2）由 $f(x)$ 在 $x=\dfrac 12$ 处取得极值，有

$$a+2-a^2=0,$$ 解得 $a=2$．此时 $$f'(x)=\dfrac{2x}{1+2x}\cdot \left(2x-1\right),$$ 于是函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac 12\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 12,2\right]$ 上单调递减，在 $x=\dfrac 12$ 处取得极小值 $f\left(\dfrac 12\right)=-\dfrac 34$，而 $$f(0)=-\ln2,f(2)=\ln\dfrac 52,$$ 于是实数 $b$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 34,-\ln 2\right]$．

（3）根据题意，有

$$\forall a\in (1,2),\max_{\frac 12\leqslant x\leqslant 1}\{f(x)\}>m\left(a^2+2a-3\right),$$ 因为 $$f'(x)=\dfrac{2ax\left(x-\dfrac{a^2-2}{2a}\right)}{1+ax},$$ 而当 $a\in(1,2)$ 时，$\dfrac{a^2-2}{2a}\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$，所以 $$\forall x\in\left[\dfrac 12,1\right],f'(x)>0,$$ 即 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递增，从而有 $$\forall a\in (1,2),\ln\dfrac {a+1}2+1-a-m\left(a^2+2a-3\right)>0,$$ 记左侧函数为 $\varphi(a)$，分析端点，有 $$\begin{array} {c|cc}\hline a&1&2\\\hline\varphi(a)& 0&\ln\dfrac 32-1-5m\\ \hline\varphi'(a)&\dfrac{-8m-1}2&/\\\hline \end{array}$$ 其中 $$\varphi'(a)=\dfrac{-2ma^2-(4m+1)a-2m}{a+1},$$ 于是得到 $$m\leqslant \dfrac 15\left(\ln\dfrac 32-1\right)<0,$$ 并得到讨论分界点 $m=-\dfrac 18$．

情形一　$m>-\dfrac 18$，设关于 $a$ 的方程

$$-2ma^2-(4m+1)a-2m=0$$ 的比 $1$ 大的根为 $x_0$，则在区间 $(1,x_0)$ 上有 $\varphi'(a)<0$，因此 $\varphi(a)$ 在 $(1,x_0)$ 上单调递减，而 $\varphi(1)=1$，因此在 $(1,x_0)$ 上有 $$\varphi(x)<\varphi(1)=0,$$ 不符合题意．
情形二　$m\leqslant -\dfrac 18$，此时 $$\varphi(a)>\ln\dfrac{a+1}2+1-a+\dfrac 18\left(a^2+2a-3\right),$$ 记右侧函数为 $m(a)$，则有 $$m'(a)=\dfrac{(a-1)^2}{4(a+1)}> 0,$$ 进而 $m(a)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增，因此 $$m(a)>m(1)=0,$$ 从而 $\varphi(a)>0$，符合题意．
综上所述，实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 18\right]$．

注　其中涉及 $\dfrac 15\ln\dfrac 32-\dfrac 15$ 与 $-\dfrac 18$ 的大小比较，也即 $\ln \dfrac 32$ 与 $\dfrac 38$ 的大小比较．而

$$\ln\dfrac 32>\dfrac{2\cdot \left(\dfrac 32-1\right)}{\dfrac 32+1}=\dfrac 25>\dfrac 38.$$