每日一题[1103]各个击破

已知函数 $f(x)=\ln\left(\dfrac 12+\dfrac 12ax\right)+x^2-ax$($a$ 为常数,$a>0$).
(1)当 $a=1$ 时,求函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程;
(2)当 $y=f(x)$ 在 $x=\dfrac 12$ 处取得极值时,若关于 $x$ 的方程 $f(x)-b=0$ 在 $[0,2]$ 上恰有 $2$ 个实数解,求实数 $b$ 的取值范围;
(3)若对任意的 $a\in(1,2)$,总存在 $x_0\in\left[\dfrac 12,1\right]$,使不等式 $f(x_0)>m\left(a^2+2a-3\right)$ 成立,求实数 $m$ 的取值范围.


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分析与解 (1)函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x}{1+ax}\cdot \left(2ax+2-a^2\right),\]于是当 $a=1$ 时,有\[\begin{split} f(1)&=\ln\left(\dfrac 12+\dfrac 12\cdot 1\cdot 1\right)+1^2-1\cdot 1=0,\\f'(1)&=\dfrac{1}{1+1\cdot 1}\cdot \left(2\cdot 1\cdot 1+2-1^2\right)=\dfrac 32,\end{split}\]因此所求切线方程为 $3x-2y-3=0$.

(2)由 $f(x)$ 在 $x=\dfrac 12$ 处取得极值,有\[a+2-a^2=0,\]解得 $a=2$.此时\[f'(x)=\dfrac{2x}{1+2x}\cdot \left(2x-1\right),\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac 12\right)$ 上单调递减,在 $\left(\dfrac 12,2\right]$ 上单调递减,在 $x=\dfrac 12$ 处取得极小值 $f\left(\dfrac 12\right)=-\dfrac 34$,而\[f(0)=-\ln2,f(2)=\ln\dfrac 52,\]于是实数 $b$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 34,-\ln 2\right]$.

(3)根据题意,有\[\forall a\in (1,2),\max_{\frac 12\leqslant x\leqslant 1}\{f(x)\}>m\left(a^2+2a-3\right),\]因为\[f'(x)=\dfrac{2ax\left(x-\dfrac{a^2-2}{2a}\right)}{1+ax},\]而当 $a\in(1,2)$ 时,$\dfrac{a^2-2}{2a}\in\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$,所以\[\forall x\in\left[\dfrac 12,1\right],f'(x)>0,\]即 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递增,从而有\[\forall a\in (1,2),\ln\dfrac {a+1}2+1-a-m\left(a^2+2a-3\right)>0,\]记左侧函数为 $\varphi(a)$,分析端点,有\[\begin{array} {c|cc}\hline a&1&2\\\hline\varphi(a)& 0&\ln\dfrac 32-1-5m\\ \hline\varphi'(a)&\dfrac{-8m-1}2&/\\\hline \end{array}\]其中\[\varphi'(a)=\dfrac{-2ma^2-(4m+1)a-2m}{a+1},\]于是得到\[m\leqslant \dfrac 15\left(\ln\dfrac 32-1\right)<0,\]并得到讨论分界点 $m=-\dfrac 18$.

情形一 $m>-\dfrac 18$,设关于 $a$ 的方程\[-2ma^2-(4m+1)a-2m=0\]的比 $1$ 大的根为 $x_0$,则在区间 $(1,x_0)$ 上有 $\varphi'(a)<0$,因此 $\varphi(a)$ 在 $(1,x_0)$ 上单调递减,而 $\varphi(1)=1$,因此在 $(1,x_0)$ 上有\[\varphi(x)<\varphi(1)=0,\]不符合题意.
情形二 $m\leqslant -\dfrac 18$,此时\[\varphi(a)>\ln\dfrac{a+1}2+1-a+\dfrac 18\left(a^2+2a-3\right),\]记右侧函数为 $m(a)$,则有\[m'(a)=\dfrac{(a-1)^2}{4(a+1)}> 0,\]进而 $m(a)$ 在 $(1,2)$ 上单调递增,因此\[m(a)>m(1)=0,\]从而 $\varphi(a)>0$,符合题意.
综上所述,实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 18\right]$.

 其中涉及 $\dfrac 15\ln\dfrac 32-\dfrac 15$ 与 $-\dfrac 18$ 的大小比较,也即 $\ln \dfrac 32$ 与 $\dfrac 38$ 的大小比较.而\[\ln\dfrac 32>\dfrac{2\cdot \left(\dfrac 32-1\right)}{\dfrac 32+1}=\dfrac 25>\dfrac 38.\]

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