每日一题[1104]无巧不成书

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2-10x-10y+45=0$,则 $\dfrac{2x^2-xy-y}{x}$ 的最小值是_______.


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正确答案是$-2$.

分析与解 法一 根据题意,有\[(x-5)^2+(y-5)^2=5,\]于是设 $$(x,y)=(5+\sqrt 5\cos\theta,5+\sqrt 5\sin\theta),$$则所求代数式\[\begin{split}m=&\dfrac{2x^2-xy-y}{x}\\=&5-\sqrt 5\left(\sin\theta-2\cos\theta\right)-\dfrac{\sqrt 5+\sin\theta}{\sqrt 5+\cos\theta},\end{split}\]考虑函数\[t=\dfrac{\sqrt 5+\sin\theta}{\sqrt 5+\cos\theta},\]有\[\sin\theta-t\cos\theta=\sqrt 5(t-1),\]从而得到\[\sqrt{1+t^2}\geqslant \sqrt 5(t-1),\]解得 $\dfrac 12\leqslant t\leqslant 2$,于是 $t$ 的最大值为 $2$,且当 $\sin\theta -2\cos\theta=\sqrt 5$ 时取得.因此 $m$ 的最小值为\[5-\sqrt 5\cdot \sqrt 5-2=-2,\]当 $\sin\theta -2\cos\theta=\sqrt 5$ 时取得.
法二 根据题意,有\[(x-5)^2+(y-5)^2=5,\]即点 $(x,y)$ 在一个圆上,记为圆 $M$.所求代数式\[m=\dfrac{2x^2-xy-y}{x}=(2x-y)-\dfrac yx,\]考虑过原点的圆 $M$ 的切线 $MP$(斜率较大的切线),其中 $P$ 为切点,如图:容易计算得 $\tan\angle POM=\dfrac 13$,从而\[k_{OP}=\tan\left(\angle POM+\dfrac{\pi}4\right)=\dfrac{1+\dfrac 13}{1-\dfrac 13}=2,\]所以当 $(x,y)$ 取 $P$ 点坐标时,$2x-y$ 取到最小值,$\dfrac yx$ 取到最大值,从而所求代数式有最小值为\[5-\sqrt 5\cdot \sqrt 5-2=-2,\]此时 $x=3,y=6$.

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