每日一题[1096]各有千秋

已知正数 $x,y$ 满足 $2xy=\dfrac{2x-y}{2x+3y}$，那么 $y$ 的最大值是_______．

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正确答案是$\dfrac 13$．

分析与解　法一　根据题意，有

$$4yx^2+\left(6y^2-2\right)x+y=0,$$ 其判别式 $$\Delta=4\left(9y^2-1\right)\left(y^2-1\right)\geqslant 0,$$ 于是 $$0\leqslant y\leqslant \dfrac 13\lor y\geqslant 1.$$ 若 $y\geqslant 1$，则关于 $x$ 的方程 $$4yx^2+\left(6y^2-2\right)x+y=0$$ 没有正根，与题意不符．
而当 $x=\dfrac 12$ 时，$y=\dfrac 13$，因此所求 $y$ 的最大值为 $\dfrac 13$．

法二　根据题意，有

$$\dfrac{2x-y}{2xy}=2x+3y,$$ 即 $$\dfrac 1y-3y=2x+\dfrac{1}{2x},$$ 因此 $$\dfrac 1y-3y\geqslant 2,$$ 进而可得 $y\leqslant \dfrac 13$，等号当 $x=\dfrac 12$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac 13$．

法三　设 $x=ky$，则

$$2ky^2=\dfrac{2k-1}{2k+3},$$ 因此 $$y^2=\dfrac{2k-1}{4k^2+6k}=\dfrac{1}{2k-1+\dfrac{4}{2k-1}+5}\leqslant \dfrac 19,$$ 等号当 $k=\dfrac 32$ 时取得．因此 $y$ 的最大值为 $\dfrac 13$．