已知正数 x,y 满足 2xy=2x−y2x+3y,那么 y 的最大值是_______.
正确答案是13.
分析与解 法一 根据题意,有4yx2+(6y2−2)x+y=0,其判别式Δ=4(9y2−1)(y2−1)⩾0,于是0⩽y⩽13∨y⩾1.若 y⩾1,则关于 x 的方程4yx2+(6y2−2)x+y=0没有正根,与题意不符.
而当 x=12 时,y=13,因此所求 y 的最大值为 13.
法二 根据题意,有2x−y2xy=2x+3y,即1y−3y=2x+12x,因此1y−3y⩾2,进而可得 y⩽13,等号当 x=12 时取得.因此所求的最大值为 13.
法三 设 x=ky,则2ky2=2k−12k+3,因此y2=2k−14k2+6k=12k−1+42k−1+5⩽19,等号当 k=32 时取得.因此 y 的最大值为 13.