每日一题[1096]各有千秋

已知正数 x,y 满足 2xy=2xy2x+3y,那么 y 的最大值是_______.


正确答案是13

分析与解 法一 根据题意,有4yx2+(6y22)x+y=0,其判别式Δ=4(9y21)(y21)0,于是0y13y1.y1,则关于 x 的方程4yx2+(6y22)x+y=0没有正根,与题意不符.
而当 x=12 时,y=13,因此所求 y 的最大值为 13

法二 根据题意,有2xy2xy=2x+3y,1y3y=2x+12x,因此1y3y2,进而可得 y13,等号当 x=12 时取得.因此所求的最大值为 13

法三 设 x=ky,则2ky2=2k12k+3,因此y2=2k14k2+6k=12k1+42k1+519,等号当 k=32 时取得.因此 y 的最大值为 13

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