每日一题[1073]复合函数的零点

已知函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$，若关于 $x$ 的方程 $f^2(x)-mf(x)+2m-1=0$（$m$ 为实常数）有 $6$ 个实数解，则实数 $m$ 的取值范围是________．

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正确答案是$\left\{\dfrac 12\right\}$．

分析与解　先考虑函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=t$ 的公共点个数 $n_t$ 和 $t$ 的取值之间的关系．

$$\begin{array}{c|ccccc} \hline t & (-\infty,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline n_t & 0 & 2 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}$$

因此根据题意，关于 $t$ 的方程

$$t^2-mt+2m-1=0$$ 在 $(0,1)$ 内有一个实数解，另一个实数解或者为 $0$，或者在区间 $(1,+\infty)$ 内．

法一　分离变量

有

$$m=\dfrac{t^2-1}{t-2}=t-2+\dfrac{3}{t-2}+4,$$ 记右侧为函数 $\varphi(t)$，则 $\varphi(t)$ 在 $\left(0,2-\sqrt 3\right)$ 上单调递增，在 $\left(2-\sqrt 3,1\right)$ 上单调递减，当 $t>2$ 时，$\varphi(t)\geqslant 4+2\sqrt 3$，结合 $$\varphi(0)=\dfrac 12,\varphi\left(2-\sqrt 3\right)=4-2\sqrt 3,\varphi(1)=0,$$ 如图． 

因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}$．

 法二　不分离变量

记关于 $t$ 的方程

$$t^2-mt+2m-1=0$$ 的实数根为 $t_1,t_2$，设函数 $g(t)=t^2-mt+2m-1$．

情形一　$t_1\in(0,1),t_2\in(1,+\infty)$．

记 $g(t)=t^2-mt+2m-1$，则有 $g(0)>0$ 且 $g(1)<0$，无解；

情形二　$t_1=0,t_2\in(0,1)$．

此时 $g(0)=0$ 解得 $m=\dfrac 12$，检验知此时符合题意．

因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left\{\dfrac 12\right\}$．