每日一题[1073]复合函数的零点

已知函数 \(f(x)=\left|x^2-1\right|\),若关于 \(x\) 的方程 \(f^2(x)-mf(x)+2m-1=0\)\(m\) 为实常数)有 \(6\) 个实数解,则实数 \(m\) 的取值范围是________


cover

正确答案是\(\left\{\dfrac 12\right\}\)

分析与解 先考虑函数 \(y=f(x)\) 的图象与 \(y=t\) 的公共点个数 \(n_t\) \(t\) 的取值之间的关系.

\[\begin{array}{c|ccccc} \hline t & (-\infty,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline n_t & 0 & 2 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}\]

因此根据题意,关于 \(t\) 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\] \((0,1)\) 内有一个实数解,另一个实数解或者为 \(0\),或者在区间 \((1,+\infty)\) 内.

法一 分离变量

\[m=\dfrac{t^2-1}{t-2}=t-2+\dfrac{3}{t-2}+4,\]记右侧为函数 \(\varphi(t)\),则 \(\varphi(t)\) \(\left(0,2-\sqrt 3\right)\) 上单调递增,在 \(\left(2-\sqrt 3,1\right)\) 上单调递减,当 \(t>2\) 时,\(\varphi(t)\geqslant 4+2\sqrt 3\),结合\[\varphi(0)=\dfrac 12,\varphi\left(2-\sqrt 3\right)=4-2\sqrt 3,\varphi(1)=0,\]如图. 

因此实数 \(m\) 的取值范围是 \(\left\{\dfrac 12\right\}\)

 法二 不分离变量

记关于 \(t\) 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]的实数根为 \(t_1,t_2\),设函数 \(g(t)=t^2-mt+2m-1\)

情形一 \(t_1\in(0,1),t_2\in(1,+\infty)\).

\(g(t)=t^2-mt+2m-1\),则有 \(g(0)>0\) \(g(1)<0\),无解;

情形二 \(t_1=0,t_2\in(0,1)\).

此时 \(g(0)=0\) 解得 \(m=\dfrac 12\),检验知此时符合题意.

因此实数 \(m\) 的取值范围是 \(\left\{\dfrac 12\right\}\)

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论