已知函数 \(f(x)=\left|x^2-1\right|\)，若关于 \(x\) 的方程 \(f^2(x)-mf(x)+2m-1=0\)（\(m\) 为实常数）有 \(6\) 个实数解，则实数 \(m\) 的取值范围是________．
正确答案是\(\left\{\dfrac 12\right\}\)．
分析与解 先考虑函数 \(y=f(x)\) 的图象与 \(y=t\) 的公共点个数 \(n_t\) 和 \(t\) 的取值之间的关系．
\[\begin{array}{c|ccccc} \hline t & (-\infty,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline n_t & 0 & 2 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}\]
因此根据题意，关于 \(t\) 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]在 \((0,1)\) 内有一个实数解，另一个实数解或者为 \(0\)，或者在区间 \((1,+\infty)\) 内．
法一 分离变量
有\[m=\dfrac{t^2-1}{t-2}=t-2+\dfrac{3}{t-2}+4,\]记右侧为函数 \(\varphi(t)\)，则 \(\varphi(t)\) 在 \(\left(0,2-\sqrt 3\right)\) 上单调递增，在 \(\left(2-\sqrt 3,1\right)\) 上单调递减，当 \(t>2\) 时，\(\varphi(t)\geqslant 4+2\sqrt 3\)，结合\[\varphi(0)=\dfrac 12,\varphi\left(2-\sqrt 3\right)=4-2\sqrt 3,\varphi(1)=0,\]如图．
因此实数 \(m\) 的取值范围是 \(\left\{\dfrac 12\right\}\)．
法二 不分离变量
记关于 \(t\) 的方程\[t^2-mt+2m-1=0\]的实数根为 \(t_1,t_2\)，设函数 \(g(t)=t^2-mt+2m-1\)．
情形一 \(t_1\in(0,1),t_2\in(1,+\infty)\)．
记 \(g(t)=t^2-mt+2m-1\)，则有 \(g(0)>0\) 且 \(g(1)<0\)，无解；
情形二 \(t_1=0,t_2\in(0,1)\)．
此时 \(g(0)=0\) 解得 \(m=\dfrac 12\)，检验知此时符合题意．
因此实数 \(m\) 的取值范围是 \(\left\{\dfrac 12\right\}\)．