每日一题[1072]条条大路通罗马

已知非钝角三角形 \(ABC\) 的三个内角满足 \(\cos^2A+\cos^2B=\sin C\),求证:\(C\) 为直角.


cover

分析与解 法一 根据题意,有\[\dfrac{1+\cos 2A}2+\dfrac{1+\cos 2B}2=\sin C,\]于是\[1+\dfrac 12\left(\cos 2A+\cos 2B\right)=\sin C,\]和差化积得\[1+\cos(A+B)\cdot\cos(A-B)=\sin C,\]因此\[1-\cos (A-B)\cdot \cos C=\sin C.\] \(C\ne\dfrac{\pi}2\),则\[\cos(A-B)=\dfrac{1-\sin C}{\cos C},\]而由 \(A+B=\pi-C\) 可得\[A-B<\dfrac{\pi}2-\left(\dfrac{\pi}2-C\right)=C,\]进而 \(\cos (A-B)\) 的取值范围是 \(\left(\cos C,1\right]\).因此\[\cos C<\dfrac{1-\sin C}{\cos C}\leqslant 1,\]进而\[\sin C<1-\cos^2C=\sin^2C,\]矛盾.

因此 \(C\) 为直角.

法二 根据题意,有\[\dfrac{1+\cos 2A}2+\dfrac{1+\cos 2B}2-\sin(A+B)=0,\]也即\[1+\cos(A+B)\cos(A-B)-\sin(A+B)=0,\] \(A=B\),容易得到 \(\sin(A+B)=1\),即 \(A=B=\dfrac{\pi}4\),此时 \(C\) 为直角;

\(A\ne B\),不妨设 \(A>B\),并记 \(A+B=2x\)\(A-B=2y\),则\[x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right),y\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\]且有\[1-\sin 2x+\cos 2x\cos 2y=0,\]\[(\cos x-\sin x)^2+\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2y-\sin^2y\right)=0,\]也即\[2(\cos x-\sin x)\left(\cos x\cos^2y-\sin x\sin^2y\right)=0,\]也即\[2\cos x\cos^2y\cdot (\cos x-\sin x)\left(1-\tan x\cdot \tan^2y\right)=0,\]因为\[x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right),y\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right),x+y=A\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\]所以有\[\tan x<\tan\left(\dfrac{\pi}2-y\right)=\dfrac{1}{\tan y},\]因此\[\tan x\cdot \tan^2y<\tan x\cdot \tan y<1,\]于是\[\cos x-\sin x=0,\] \( A+B=2x=\dfrac{\pi}2\)

综上知,命题得证.

法三 由三角形中的恒等式知\[cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=1-2\cos A\cos B\cos C,\]于是有\[1-2\cos A\cos B\cos C-\cos^2C=\sin C,\]整理得\[2\cos A\cos B\cos C=\sin^2C-\sin C=\sin C\cdot(\sin C-1)\leqslant 0.\]又因为 \(\triangle ABC\) 非钝角三角形,所以\[\sin C(\sin C-1)=2\cos A\cos B\cos C\geqslant 0,\]从而有 \(\sin C(1-\sin C)=0\),于是 \(C\) 为直角.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论