每日一题[1074]抽丝剥茧

若函数 \(f(x)=x^2(x-4)^2-a|x-2|+2a\) \(4\) 个零点,则实数 \(a\) 的取值范围是__________


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正确答案是\(\left\{-\dfrac{256}{27}\right\}\cup(-8,0)\cup(0,+\infty)\)

分析与解 注意到\[f(x)=\left[(x-2)^2-4\right]^2-a\big( |x-2|-2\big),\] \(t=|x-2|-2\),则函数 \(y=f(x)\),即\[y=t^2(t+4)^2-at.\]函数 \(y=|x-2|-2\) 与直线 \(y=t\) 的公共点个数 \(n_t\) \(t\) 的取值之间的对应关系是\[\begin{array}{c|ccc} \hline t&(-\infty,-2)&-2&(-2,+\infty)\\ \hline n_t&0&1&2 \\ \hline\end{array}\]

因为 \(t=0\) 时对应函数的两个零点,所以函数 \(\varphi(t)=t(t+4)^2\) 与直线 \(y=a\) \(t\in(-2,+\infty)\) 上的公共点有且只有一个,且不为零,不为 \(-2\).函数 \(\varphi(t)\) 的导函数\[\varphi'(t)=(t+4)\left(3t+4\right),\]因此图象如图.

由此得到实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left\{-\dfrac{256}{27}\right\}\cup(-8,0)\cup(0,+\infty)\)

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